Lp空间

在分析学中， 空间，即所谓的 次方可积函数空间，是一类非常常见的空间，它们是一类重要的完备赋范空间（Banach空间）。这些空间之所以如此频繁地出现在各个分支，一方面是因为它的定义足够宽松—只要求可积性（ 要求本质上界有限）—以至于可以囊括足够多我们感兴趣的函数，而且可以进一步考虑其中的更精细的子空间，如Sobolev空间，并且可以反过来通过将这些子空间嵌入回 空间来使用具有更好性质的小空间内的函数来研究 空间内的函数；另一方面， 空间具有非常多的良好性质和经典结构，例如具有完备性、可分性等，可以讨论对偶性和自反性，在上面可以进行各种插值并做相应的估计等等，这使得这类空间可以被作为典型的分析范例。

基本理论

首先我们给出 空间的定义。

空间：设 是一个测度空间，，则 是由所有满足 的可测函数 所构成的空间；如果 ，则 是由所有满足 的可测函数 所构成的空间，其中 是 的本质上界（essential supremum）。

为了使 空间真正成为一个赋范线性空间，现在需要定义其上的范数。当 时，令 范数为

而当 时，令 范数为

其中 的本质上界的定义为

可以验证，这样定义的 范数满足范数的三条公理：非负性、齐次性和三角不等式。事实上，我们上面仅对 的情形给出了定义就是因为当 时，按照上面这种形式定义的“范数”不再一定满足三角不等式，因此可能不是一个范数。一个简单的例子见[Follan,Real Analysis, p182]：

时三角不等式不一定成立：注意到 时我们有 ，其中 。现在对该式关于 两侧积分得 。现在设 和 是 上两个测度有限的不交可测集，令 ， ，于是有

在 空间中，最重要的事实是一系列不等式，这些不等式可以帮助我们理解 空间的结构，以及在其中进行各种估计。下面列出了一些重要的不等式：

Young's Inequality

任意 ， 且互为共轭指数，即 ，则有 另一种常见的形式是 其中 。不等式取等当且仅当 。

Hölder Inequality

任意 和 ，其中 且互为共轭指数，即 （保证尺度不变性），都有 并且上述不等式取等当且仅当 和 几乎处处成比例，即存在常数 使得 几乎处处成立。

Minkowski's Inequality

任意 ，如果 ，则有

其中Young不等式的一个经典证明是借助 函数的凸性，即

下面两个不等式先考虑 的情形，此时Hölder不等式的证明可以Young不等式。一种方法是先归一化，证明 的情况，此时根据Young不等式有

两侧积分可得

于是Hölder不等式 成立。注意该不等式具有伸缩不变性，即 换为 仍然成立，于是可以通过伸缩性推广到一般情况。另一种证明是使用优化的思想，同样由Young不等式得

现在利用伸缩不变性将 替换为 可得

下面我们可以选取 以使得上述不等式的右侧最小，不难发现 时右端最小，而且相应的最小值就是 。

最后，Minkowski不等式的证明要借助于Hölder不等式。首先注意到

现在使用Hölder不等式可得

因此可得

另外，我们约定 和 互为共轭指数，在这种情况下，使用积分的单调性可知Hölder不等式显然成立，即 ；Minkowski不等式在 时的证明与之前完全相同， 的情形只需注意到

接下来给出两个泛函分析中的经典结论：任意

1. 空间是Banach空间；
2. 简单函数在 空间中稠密；

上述两个命题的证明在任意一本泛函分析教程中都可以找到。

插值和嵌入

下面我们考察不同 空间的关系，此时需要注意一些命题依赖于 是否为有限测度。我们先给出一个插值关系。这里所谓的“插值”与数值计算领域不同—此处的插值指的是要在给定的两个空间之间找到一个中间空间，这一中间空间内的函数可以视作是两个给定空间内函数的“平均”或“中间”函数。稍后我们会讨论更复杂的插值问题，下面给出一个最简单的插值命题。

Interpolation

如果 ，则 ，即任给 ，存在 和 使得 。

证明并不困难，我们可以直接构造出上述 。给定 ，我们可以定义 ，令 ，，于是

所以 。另一方面有

因此 。最后注意到 ，证毕。

与上面的插值关系相对应的是一个如下“嵌入”关系：给定的两个空间的交集可以嵌入到中间空间内。

Embedding

如果 ，则 ，而且任意 都有 其中 满足

与插值关系不同，要证明嵌入关系需要对 是否为正无穷进行讨论。当 时，注意到 ，于是

所以 ，命题成立。当 时，我们可以直接使用Hölder不等式，注意到 与 互为共轭指数，其中 为命题中指定的常数。于是有

两边同时开 次方即可得到命题中的不等式。

接着我们介绍 空间的大小关系。如果使用计数测度，此时 空间通常记作 。在这种情况下，给定任意集合 ，如果 ，那么

当 时，，自然小于等于 。当 时，使用上一条结论，令 可得

因此 空间随着 的增大而增大。

然而，对于任意满足 的有限测度 ， 空间的包含关系与上述计数测度的情况正好相反。此时我们有

的情形是平凡的，我们有

当 时，同样使用Hölder不等式，注意到 与 互为共轭指数，于是

因此当 是有限测度时， 空间随着 的增大而减小。

最后我们简单介绍 空间的可分性概念。一般地，如果可测空间 内存在一个可列可测集族 可以生成整个可测集族 ，即

则称 是可分的。进一步地，现在考虑测度空间 。如果该测度空间内存在一个可分的 -代数 使得

则称 是 -可分的。

对偶空间

现在考察 空间的对偶空间以及自反性。本小节的目标是说明如下 时如下映射：

是一个等距同构。上式中 是 的共轭指数， 是 上全体有界线性泛函构成的空间，称为 空间的对偶空间，上式中的 定义如下：

在一些文献中也会定义为 。定义方式不影响我们的结论。 作为有界线性泛函的范数自然地使用算子范数，即

下面我们要说明如下三条事实：

1. 在 或 且 是半有限测度时 是保距的，即 ；
2. 在合适的条件下 的定义中选取的测试函数可以只考虑有限测度区域上的简单函数，即
   
3. 是单射，当 或 且 是 -有限测度时 是满射；

保距性

首先我们考虑 的情形。此时根据Hölder不等式可得

于是 。另一方面，如果 是非零函数，则考虑

直接验证可知 ，并且有

所以 。对于 的情形，类似地使用Hölder不等式可得 。对于另一侧，需要使用 的半有限性。任给 ，令 ， 的半有限性保证存在 使得 。现在考虑

这样的 满足 ，并且

由 的任意性可得 。

我们将上面的证明总结为如下结论：

Isometry

如果 ，或者 且 是半有限测度，令 是 的共轭指数，，则 是保距映射，即

后面两部分的证明非常有技巧性，我们先给出结论：

限制在简单函数空间上

下面结论的证明比较曲折，由于 只是可测的，因此不光需要按照定义选取简单函数作为 来得到 ，还必须再选取一列简单函数逼近 ，而且最后需要再取极限得到关于 而非 的关系。

Restriction

设 互为共轭指数， 是 上的可测函数，记 是全体支集是有限测度的简单函数所组成的函数空间。如果以下条件成立：

1. 任意 都有 ；
2. 集合 的测度有限；
3. 是 -有限的，或者 是半有限的（当 是半有限测度时可以推出 关于 是 -有限的）；

那么我们有 ，并且

Proof. 证明与之前类似分成 和 两大块。首先考虑 的情况。由 的半有限性和 的测度有限可以推出任给 ，集合 的测度都是有限的 (?)，进而 视作这些集合的并是 -有限的，因此我们只需考察 是 -有限的情况。此时设 是一列上升的测度有限的集合，满足 。根据之前的分析可知，可测函数 可以被简单函数逼近，我们设 是一列满足 且逐点收敛到 的简单函数。现在令

由 的逐点收敛性以及 的上升性质可知 逐点收敛到 ，而且也满足 ，并且 的支集为测度有限的 ，所以 。选取

之前已经验证过这样的 满足 。下面使用Fatou引理可知

使用之前构造的 使用下式替换上式中的

又因为 可以被 控制，所以我们有

至此我们只需说明 即可，这一步的证明依赖于构造的 是定义在有限测度集合 上的有界函数，因此可以使用简单函数逼近，于是对每一个 都存在一列简单函数 使得 从下方逐点收敛到 。因为 ，于是根据控制收敛定理可知

上式两侧关于 取下极限就得到了希望的不等式。于是 ，现在可以使用Hölder不等式看到任意 且 都有 ，所以 。综上可知 。使用之前的结论可知 是保距映射，于是 。

到此为止我们已经说明了 的情况。对于 的情况，仿照上一个结论的证明，对于任意的 ，考察集合 。如果 具有正测度，则使用 的半有限性可知存在 使得 ，于是考虑

这样的 满足 ，然而

这与 的极大性矛盾，因此 的测度为零，由 的任意性可知 。另一个方向的不等式显然，于是 。证毕。

满射性

最后我们说明 时 是双射，因为 的单射性是显然的，这里只需检验它的满射性。这里将证明的结论是相当弱的一个形式，其中我们没有要求测度 是 -有限的，因此证明的难度相对较大，不过还是让我们遵守一般性的原则，首先说明 是有限测度的情况，之后再推广到 -有限的情况，最后说明 是任意测度时结论都成立。

Surjection

设 互为共轭指数，当 时，对于任意 都存在 使得 ，即

Proof. 证明的关键在于使用Radon-Nikodym定理：我们将说明 是某一个测度的Radon-Nikodym导数，从而说明 的存在性。
首先考虑 是有限测度的情况，此时所有简单函数都是 可积的。任给 和可测集 ，令 ，我们来说明这样定义的 是一个测度。显然 ，现在考虑可列可加性，如果 是一列两两不交的集合，令 ，于是 这一级数在 范数下的收敛性由 的有限性保证，由此可得

在这里我们需要 才可以说明上式的极限为零，当 时显然上式恒等于 。

因为 是有界线性泛函，有界性与连续性等价，于是使用从部分和到级数的极限关系可得

所以 是一个测度。接下来为了使用Radon-Nikodym定理，我们需要说明 是绝对连续的。这件事并不困难，当 时， 几乎处处为零，所以 ，使用 的有界性可知 ，因此 ，所以 。现在根据Radon-Nikodym定理可知，存在 使得

接下来我们说明 不仅是 可积的，而且也是 可积的，一些地方称之为 可以被“提升”到 空间内。基于上式可知任意的简单函数 都有

使用上一个结论可知 。最后，因为简单函数在 中稠密，所以对于任意 都存在一列简单函数 逐点收敛到 ，于是对于任意的 都有

至此我们说明了 是有限测度时命题成立。

下面令 是 -有限的，此时设 是一列上升的集合，满足 ，并且 。这里我们将 视作 的子空间，其中只包含支集在 上的函数。于是在每一个 上都可以使用上一种情况的结论，于是我们得到一列 使得 ，其中 (这里的 均可以视作 )，而且

由于 是上升集合，而且 满足 ()，所以当 时， 和 在 上几乎处处相等，于是我们可以定义 满足 ，根据单调收敛定理可知

所以 。最后当 时，我们有 在 范数下收敛，于是根据控制收敛定理可知

这样就完成了 是 -有限时的证明。

最后我们考虑 是任意测度的情况。根据上一步的分析，关于任意 -有限集 都存在几乎处处唯一的 满足要求。如果 是包含 的更大的一个集合，那么 和 在 上几乎处处相等，所以 。现在令

因为每个 的范数都小于 ，所以 。选取一列 使得 ，令 ，则 是 -有限的并且 。如果 是某个包含 的 -有限集，那么

所以 ，在 时这说明 与 几乎处处相等。考虑任意 ，令 ，于是 是 -有限的，所以根据上面的分析可知 与 几乎处处相等，于是

因此令 即可满足要求。证毕。

当 时， 一般不是满射，事实上 的对偶通常严格大于 。

至此，我们已经说明了 在 时是一个双射，于是 ，而 天然地与 同构，因此往往直接称 是 空间的对偶空间。顺便一提，在范畴论的视角下 与 之间的同构虽然显然，但却并不是“自然的”，这是因为它们之间的同构映射依赖于 空间的线性性而不仅仅是拓扑结构，通常而言这样的同构依赖于基的选取（基的选取不唯一导致同构映射不唯一），而不是空间本身的结构，在 空间的例子中， 的定义依赖于积分形式，正是积分形式保证了线性性和有界性，但这也导致 作为同构不够自然。真正“自然的”映射是 到它的双重对偶空间 的典范映射:

这样的典范映射仅仅依赖于 空间的自身的结构，不涉及任何额外的性质，因此是“自然的”。

不过尽管 作为同构不够自然，它仍然表明当 时，，再使用做一次同构可知 ，于是

因此 空间具有自反性。

重要不等式

在这一节的开始，需要提醒读者注意的是，在这一节中给出的各类不等式中的指标 并不限于整数，在一些重要的应用中它们往往都只是分数，因此请勿先入为主地认为 必须都是整数。

这里要给出的第一个不等式是著名的Chebyshev不等式：

Chebyshev Inequality

如果 ，其中 ，则任给 都有

证明非常简单，只需注意到

下面我们考虑 空间上积分算子的有界性，这里讨论的积分算子形如

其中 是乘积测度空间 上的可测函数，要求相应的 和 都是 -有限的测度空间，。注意到如果 ，设 是 的共轭指数，则

所以使用Hölder不等式可得

所以如果 自身满足

那么我们就有

现在我们考察 是否 可积。将上式两侧做 次幂并积分可得

不难发现，如果 与之前类似地满足

那么根据Tonelli定理（此处需要 和 的 -有限性）交换积分顺序之后可得

于是我们最终得到了

因此 。事实上，不难证明这一事实对于 和 的情况也成立。我们将上述分析整理为如下结论：

Integral Inequality

如果 和 都是 -有限的测度空间， 是乘积测度空间 上的可测函数，满足 则任给 （），它在积分算子 下的像 在 上关于 几乎处处收敛，并且 ，满足

之前我们介绍了Minkowski不等式，即 范数的三角不等式，它表明一些 可积函数的和的范数可以被这些函数的范数的和控制，将这一离散版本的结论连续化就得到了下面的积分形式的Minkowski不等式。

Minkowski Inequality (Integral Form)

如果 和 都是 -有限的测度空间， 是乘积测度空间 上的可测函数，则

1. 如果 是非负函数，，则
2. 如果 ， 关于 几乎处处成立，且函数 是 可积的，那么 关于 几乎处处成立，函数 是 可积的，而且

我们先考察第一条结论。当 时，第一条结论退化为Tonelli定理，因此自然成立。当 时，设 是 的共轭指数，选取任意的 可得

根据 选取的任意性以及之前证明的对偶性结论 可知

因此我们有

这就证明了第一条结论。对于第二条结论，在 时，除了由于 此时不再是非负的，因此需要使用Fubini定理而非Tonelli定理之外，证明的思路完全类似。当 时，该结论是绝对值不等式的直接推论，只需使用积分的单调性即可。

接下来我们介绍一类在 上关于Lebesgue测度的常用的积分不等式，称为Hardy型不等式，这类不等式涉及到两个积分算子。

Hardy-Type Inequality

如果 是 上的Lebesgue可测函数，满足如下条件：

1. 任意的 都有
2. 存在 使得

设 是上述 的共轭指数，给定任意 以及 ，定义积分算子 则 和 几乎处处收敛，且满足

下面给出Hardy型不等式的简要证明。证明依赖于前面的积分形式的Minkowski不等式，不过这里需要先做一次变量替换，否则无法排除另一个变量的干扰。令 ，于是

其中 ，并且使用到了上述第一个条件。进一步考察 可知

现在我们使用Minkowski不等式可知 几乎处处收敛，并且

最后再令 ，于是

因此类似地可以说明 几乎处处收敛，并且 。

接下来给出几种特殊的生成核 对应的Hardy型不等式：

1. 令 ，则 显然满足Hardy型不等式的条件，此时算子 和 分别为
   
   使用上面的结论可知给定任意互相共轭的 和 ，我们有
   
   上述不等式常被称作Hardy不等式，其中的常数来自于
   
2. 另外一种特殊情况是令 ，此时条件一同样可以满足。算子 的形式为
   
   使用复分析的工具直接计算可知对任意 有
   
   所以根据Hardy型不等式可知
   
   这一不等式称作Hilbert不等式。
3. 最后我们再给出一种形式稍微复杂的Hardy型不等式的特例，令 ，，，这里的 是待选取的合适的常数， 是 上的非负可测函数，则当 ， 时，如果令 ，，那么对
   
   使用Hardy型不等式可得
   
   类似地，如果令 ，，那么对
   
   使用Hardy型不等式可得
   

分布函数

下面谈论的广义函数是其中一种理论，事实上，广义函数有多种不同但是互相联系紧密的理论，这里我们借助测度定义其中一种广义函数，进而定义以广义函数为元素的弱 空间。首先我们给出广义函数的概念：

分布函数 如果 是测度空间 上的一个可测函数，称以如下方式定义的映射 为 的分布函数（或广义函数）：

不难看出上述定义等价于

由定义可见，这里我们讨论的广义函数总是于一个可测函数联系在一起。下面列出了一些常见的分布函数的性质：

1. 右连续且单调下降；
2. 如果 ，则 ；
3. 如果 向上收敛到 ，则 向上收敛到 ；
4. 如果 ，则 。

这其中第一条性质来自于测度的连续性和非负性（这里使用的全是正测度），第二条直接来自于定义，第三条的单调性来自第二条，逐点收敛性可以使用测度的连续性直接验证，最后第四条是由于

变量替换

到目前为止，我们都还没有介绍如何对一般的抽象测度做变量替换，现在有了分布函数的工具可以给出一些常用的事实。根据之前的定义以及列出来的性质，不难发现由分布函数 可以定义一个 上的预Borel测度

其中 ，由上述预测度可以生成一个Borel测度，完备化之后得到一个Lebesgue-Stieltjes测度，不妨将得到的Lebesgue-Stieltjes测度仍然记作 。由于 由 诱导得到，所以相应的抽象积分往往也记做

事实上，在合适的条件下可以将非负可测函数的抽象积分化为Lebesgue-Stieltjes积分来进行计算，即如下命题：

抽象积分化为Lebesgue-Stieltjes积分 令 是测度空间 上的一个可测函数。如果由 诱导的分布函数 对任意的 都成立， 是任意给定的非负可测函数，那么

上式左端是测度空间 上的抽象积分，右侧是 上的Lebesgue-Stieltjes积分。

为了说明上面命题的正确性，只需验证结论对于示性函数成立，之后借助线性性可知对任意简单函数成立，最后使用单调收敛定理可知对于任意非负可测函数都成立。当 时，上式左端为

所以对于这类特殊的示性函数结论成立，因为全体 区间可以生成 ，因此任意 结论都成立，这就说明了结论对于所有示性函数都成立，进而命题成立。

一种最重要的特例是令 ，其中 ，此时上述命题的结论变为

这一公式看起来可以用来计算 的 范数，然而美中不足的是右侧的 通常是无法直接计算的，为了绕过这一困难一种自然的想法使用分部积分将 消去得到

上述公式确实成立，不过还是让我们来验证一下分部积分公式的条件是否真的得到了满足，即 在 趋于 和 时的极限都是 。对于 可以取到 的情形，上式两侧自然都是无穷大。当 总是有限的时候，同样我们只需考察 是简单函数的情况，当 时显然 ，而当 足够大时，，所以 。对于一般的 ，我们可以使用简单函数逐点逼近的方法来证明，这里需要借助之前的分布函数的极限性质。

鉴于上述结论的重要地位，我们将该结论总结为如下命题，该命题提供了一种非常便于操作的证明某一可测函数 有界性的方式：

Lp Criterion

如果 ，那么测度空间 上的任意可测函数 的 范数都满足

有了这一命题，在实际计算时我们只需估计分布函数 的增长速度，就可以得到 的 范数的上界，这让我们在仅有 的一些性质而不知道具体形式的情况下也能够得到一些有用的信息。使用这种方式可以得到一些有用的结论，以下事实来自[Folland,Real Analysis,Ex. 6.4.36]，证明只需使用弱 空间的定义和上述命题，分别控制 和 处的函数变化速度( )即可：

如果 ，并且 ，那么对于任意的 都有 。
如果 ，则对于任意的 都有 。

进一步地，我们可以不止局限于将抽象积分化为Lebesgue-Stieltjes积分，可以直接将一个测度空间上的积分转化为另一个测度空间上的抽象积分，下面给出一般的变量替换公式：

Variable Substitution

设 是测度空间， 是一个可测空间，存在两者之间的一个可测映射 令 是由 和 定义的 上的一个测度： 那么对于任意可测函数 都有

带上变量的话上式可以写为

其中

该定理的证明遵循一般的流程，首先说明对于示性函数成立，此处只需利用测度 的定义，之后利用线性性可知对于简单函数成立，接着使用单调收敛定理可知对于任意非负可测函数成立，最后对于一般的可测函数只需分别考虑正部和负部即可说明结论的有效性。

弱Lp空间

稍后我们将看到，要求解函数落在 空间对于某一些问题来说可能过于严格，因此有必要引入一种更宽松的空间：弱 空间。弱 空间的定义依赖于弱 范数（这其实不是一个范数）：我们将 上可测函数 的弱 范数定义为

虽然 满足齐次性，然而它通常不满足三角不等式，因此不是一个严格意义上的范数。

对于 ，我们定义弱 空间为

不难证明如下事实：

1. 对于任意 都成立；
2. （Chebyshev不等式）；
3. 构成一个拓扑向量空间(TVS)。

插值定理

The Riesz-Thorin Interpolation Theorem

设 和 都是测度空间，，并且当 时额外要求 是半有限的。对于任意的 ，令 为满足如下关系的常数 如果 是一个线性映射，满足 则如下插值不等式成立

在介绍第二个插值定理之前，我们需要先引入一些新的概念。

设 是由测度空间 上的可测函数全体所组成的线性空间， 是由测度空间 上的可测函数全体所组成的线性空间。令 是这两个线性空间之间的某一映射，我们称

1. 是次线性的(sublinear)：如果对于任意的 和 都有
   
2. 是强 型的（）：如果 是次线性的，，而且 ，即存在常数 使得
   
3. 是弱 型的（，）：如果 是次线性的，，而且 ，即存在常数 使得
   
   当 时，称 是弱 型的当且仅当 是强 型的。

现在给出第二个插值定理，该定理将是本节介绍的 空间理论的顶峰：

The Marcinkiewicz Interpolation Theorem

设 和 都是测度空间， 满足 ，，，并且存在 使得 记 是 上全体 -可测函数所组成的空间。如果次线性映射 既是弱 型的，又是弱 型的，那么 一定是强 型的。换言之，如果 则如下插值不等式成立 其中常数 只依赖于 以及 和 。

上述定理说明如果次线性映射在两个端点空间上各自都是弱有界的，则在这两个空间之间的任意内点空间上一定是强有界的。

Proof. 这一定理的证明相当复杂，这里只考虑 ，同时要求 ， 的情形。任给 和 ，令 ，构造

上述 即是将 位于 的下方的部分截断得到的函数， 是相应的补函数。不难证明

现在我们使用之前得到的公式

来计算 和 的 范数，直接带入可知

以及

类似地可以对 也使用该公式估计其 范数

由 的次线性以及分布函数的第二、四条性质可知对于任意的 和 都有

现在我们令

取 ，于是有如下估计

其中的第一部分进一步可以做下面的估计

类似地，第二部分可以被放大成如下形式

将这两项合起来就得到了

为了分析方便，记

其中 和 分别是 和 上的特征函数。于是原本的估计可以写成

因为 ，所以使用Minkowski不等式可知

令 。下面我们分 和 两种情况来讨论。

当 时， 与 都是正数，不等式 等价于 ，所以

其中使用到了 的定义。

对于 的情况， 和 此时都是负数，因此不等式 等价于 ，所以与上面相对应的有

经过类似的计算可以得到

现在我们综合上述分析可知

因为 是次线性的，所以当 时 ，于是由上式可知对于任意的 我们都有

关于其他情况的证明可以参考[Folland,Real Analysis,Th.6.28]。